Exercices corrigés : Les nombres complexes ( TSTI2D)

En mathématiques, l’ensemble des nombres complexes est créé comme extension de l’ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire noté i tel que i2 = −1. Le carré de (−i) est aussi égal à −1 : (−i)2 = −1.

Tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme a + i b où a et b sont des nombres réels.

L’addition et la multiplication des réels s’étendent aux nombres complexes sans difficulté particulière.

addition : $ (a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d)=(a+c)+\mathrm{i}(b+d)$,

multiplication : $ (a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d) =(ac-bd)+\mathrm{i}(bc+ad)$.

Soient $ a,b,c$ trois réels. L’équation du second degré $ ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions, éventuellement complexes.

si $ b^2-4ac>0$ l’équation admet deux racines réelles,

$\displaystyle r_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$   et$\displaystyle \quad r_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;; $

si $ b^2-4ac=0$ l’équation admet une racine réelle «double»,

$\displaystyle r = \frac{-b}{2a}\;; $

si $ b^2-4ac<0$ l’équation admet deux racines complexes,

$\displaystyle r_1 = \frac{-b+\mathrm{i}\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}$   et$\displaystyle \quad r_2 = \frac{-b-\mathrm{i}\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}\;. $

Soit $ z=a+\mathrm{i}b$ un nombre complexe. On appelle module de $ z$ le nombre réel positif ou nul $ \sqrt{a^2+b^2}$. On le note $ \vert z\vert$$ \vert z\vert$argument de $ z$ l’angle $ \theta\in[0,2\pi[$ tel que Re$ (z)=\vert z\vert\cos(\theta)$ et Im$ (z)=\vert z\vert\sin(\theta)$ (défini seulement si $ z$ est non nul). On le note $ \mathrm{arg}(z)$.conjugué de $ z$ le nombre complexe de même partie réelle et de partie imaginaire opposée. On le note $ \overline{z}$. $\displaystyle \overline{z} = a-\mathrm{i}b\;. $

TD_Complexes
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