Exercice : Résolution des suites numériques avec la transformée en z

La transformation en Z  ( ou la transformée en z ) est un outil mathématique de l’automatique et du traitement du signal, qui est l’équivalent discret de la transformation de Laplace.

Définition : Soit (un) une suite. On appelle transformée en Z de cette suite la fonction d’une variable complexe définie par :

Souvent, on n’étudie la transformée en Z que pour des suites causales, c’est-à-dire des suites telles que un=0 pour n<0. La définition devient alors

et le domaine de convergence est l’extérieur d’un disque.

Définition et domaines de convergence

Voici une table des transformées en Z usuelles. On ne considère que des suites causales.

Propriétés de la transformée en z

  La transformée en Z possède les propriétés formelles suivantes :

  Par ailleurs, elle vérifie le théorème suivant, dit de la valeur initiale et de la valeur finale :

Théorème : Soit (x(n)) une suite causale et F sa transformée en Z. Alors :

Lorsque la limite existe,

Exercice :

TD1_TZ

Correction :

TD1_TZ_Correction

 

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